Poutre Béton Armé - Eurocode 2

Le dimensionnement d'une poutre en béton armé reste l'un des actes de conception les plus fréquents en bureau d'études. Depuis 2010, l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) et son annexe nationale remplacent définitivement le BAEL 91/99. Le principe fondamental, lui, n'a pas changé : le béton reprend la compression, les armatures HA reprennent la traction que le béton fissuré ne peut pas équilibrer. Ce qui change, c'est le cadre : classes d'exposition (XC, XD, XS, XF) en lieu et place de la « fissuration préjudiciable », coefficient α_cc = 1.0 retenu par l'annexe française (au lieu du 0.85 intégré au f_bu du BAEL), et vérification de flèche par le rapport L/d.

Les trois États-Limites à vérifier

• ELU de flexion : la section d'acier tendue reprend le moment MEd = pu·L²/8. La méthode pivot A/B détermine le bras de levier z et l'armature requise.
• ELU d'effort tranchant : si VEd dépasse la résistance VRd,c du béton seul, on dimensionne des cadres (méthode des bielles inclinées, §6.2.3 de l'EC2), en vérifiant au passage que les bielles de béton comprimé ne s'écrasent pas (VEd ≤ VRd,max).
• ELS de flèche : le rapport L/d doit rester inférieur à la limite calculée (EC2 §7.4.2). En cas contraire, un calcul détaillé de flèche (méthode bilinéaire, §7.4.3) est requis.

Pivot A, pivot B : le langage du diagramme des déformations

À l'ELU, la section est supposée atteindre l'un de deux états de déformation limites. Au pivot A (μu ≤ 0.186), c'est l'allongement de l'acier tendu qui pilote la rupture : la zone comprimée est sous-exploitée, signe d'une section généreuse. Au pivot B (0.186 < μu ≤ 0.372), le béton atteint son raccourcissement ultime ε_cu = 3.5 ‰ pendant que l'acier plastifie : c'est le domaine visé en conception, à la fois économique et ductile. Au-delà de μ_lim ≈ 0.372, l'acier ne plastifie plus avant l'écrasement du béton : plutôt que d'ajouter des aciers comprimés, on augmente la hauteur h ou la classe de béton.

Choix des matériaux

Le couple C25/30 + B500B couvre la majorité des bâtiments courants (logements, tertiaire) : f_cd = 25/1.5 ≈ 16.7 MPa et f_yd = 500/1.15 ≈ 435 MPa. Pour un plancher industriel, une poutre fortement chargée ou un ouvrage en milieu agressif, monter en C30/37 ou C35/45 diminue le moment réduit μu à section égale (ce qui repousse la limite du pivot B) et améliore la durabilité (l'enrobage requis peut aussi baisser d'une classe dans certains cas).

Étape 1. Quel poids la poutre doit-elle porter ?

On additionne d'abord tout ce qui pèse en permanence sur la poutre : le plancher qu'elle porte, les revêtements, les cloisons et son propre poids (25 kN/m³ de béton armé). C'est la charge G. On ajoute ensuite ce qui peut s'y trouver ponctuellement (personnes, mobilier, stockage) : c'est la charge Q (par exemple 1.5 kN/m² en logement, 2.5 en bureaux, à multiplier par la largeur de plancher reprise). Par sécurité, la norme majore chacune de ces charges :

Cette charge pondérée fait fléchir la poutre. La flexion est maximale au milieu de la travée (c'est le moment M_Ed, en kN·m) et le cisaillement est maximal aux appuis (c'est l'effort tranchant V_Ed, en kN) :

Étape 2. La hauteur qui travaille vraiment : d

Toute la hauteur de la poutre ne « travaille » pas : les aciers tendus ne sont pas posés au ras du coffrage mais protégés par une couche de béton (l'enrobage) et par les cadres. La hauteur utile d mesure la distance entre le dessus de la poutre et le centre des barres. C'est elle, et non h, qui entre dans tous les calculs :

Exemple : une poutre de 45 cm en intérieur sec (enrobage 25 mm, cadres de 8 mm, barres HA 16) a une hauteur utile d ≈ 45 − 2.5 − 0.8 − 0.8 ≈ 40.9 cm.

Étape 3. Le béton est-il assez costaud ? Le moment réduit μu

Avant de calculer l'acier, on vérifie que la zone de béton comprimé peut suivre. Le moment réduit μu est une sorte de jauge de remplissage : il compare le moment appliqué M_Ed à ce que la section de béton peut offrir (sa largeur b, le carré de sa hauteur utile d, et la résistance de calcul du béton f_cd = f_ck/1.5) :

Tant que la jauge reste sous 0.372 (acier S500), tout va bien : la section se dimensionne en flexion simple, sans aciers comprimés. Au-delà, le béton s'écraserait avant que l'acier ne donne son plein rendement ; l'outil signale alors la section comme insuffisante, et la bonne réponse est d'augmenter la hauteur, la largeur ou la classe de béton.

Étape 4. Combien d'acier ? Le calcul de As

Dans une poutre fléchie, le béton comprimé en haut et l'acier tendu en bas forment un couple de forces, séparées par une distance appelée bras de levier z, un peu moins que d (typiquement z ≈ 0.9·d). Plus la section est sollicitée (μu élevé), plus la zone comprimée descend et plus z raccourcit. Le calcul exact passe par le coefficient α :

Il ne reste qu'à diviser : pour équilibrer le moment M_Ed avec un bras de levier z, l'acier doit fournir une traction M_Ed/z, et sa contrainte de calcul vaut f_yd = 500/1.15 ≈ 435 MPa pour un B500 :

L'EC2 encadre ce résultat par deux bornes de bon sens (§9.2.1.1) : un minimum A_s,min pour que la poutre ne casse pas net à l'apparition de la première fissure, et un maximum A_s,max = 4 % de la section de béton pour que le béton puisse encore être coulé et vibré correctement. L'outil traduit ensuite les cm² obtenus en un nombre entier de barres : 7.0 cm² deviennent par exemple 4 HA 16.

Étape 5. Résister au cisaillement près des appuis

Aux appuis, la poutre ne fléchit presque plus mais elle « cisaille » : les charges cherchent à faire glisser verticalement une tranche de béton par rapport à la suivante. Le béton seul oppose une résistance V_Rd,c, qui dépend de la taille de la section et du taux d'aciers longitudinaux ρ_l :

Si l'effort tranchant V_Ed dépasse cette valeur, il faut des cadres. Le modèle de l'EC2 (§6.2.3) assimile alors la poutre à un treillis : des diagonales de béton comprimé (les bielles) s'appuient sur les cadres qui jouent le rôle de montants tendus. L'outil retient l'inclinaison de bielle la plus simple et la plus sûre, θ = 45°, et en déduit la quantité de cadres par mètre :

Deux garde-fous complètent la vérification : les bielles de béton ne doivent pas s'écraser (V_Ed ≤ V_Rd,max), et même quand le béton seul suffit, on pose toujours un minimum de cadres, espacés d'au plus min(0.75 · d ; 300 mm).

Étape 6. La poutre pliera-t-elle trop ? La flèche

Une poutre peut être assez résistante mais trop souple : fissures dans les cloisons, carrelage qui sonne creux, porte qui frotte. Plutôt que de calculer la déformation exacte, l'EC2 §7.4.2 propose un raccourci efficace : si le rapport entre la portée et la hauteur utile (l'élancement L/d) reste sous une limite qui dépend du taux d'armatures et de la classe de béton, la flèche est réputée acceptable (critère L/250) sans aucun calcul supplémentaire :

À retenir : plus une poutre est élancée et peu armée, plus cette limite devient contraignante. C'est souvent la flèche, et non la résistance, qui impose la hauteur des poutres longues et faiblement chargées.

Exemple chiffré, de bout en bout

Prenons une poutre de 20 × 45 cm sur 5.00 m de portée, en C25/30 et B500, en intérieur sec (XC1), portant G = 15 kN/m et Q = 10 kN/m.

• Charge pondérée : pu = 1.35 × 15 + 1.5 × 10 = 35.25 kN/m
• Sollicitations : MEd = 35.25 × 5²/8 ≈ 110.2 kN·m et VEd ≈ 88.1 kN
• Hauteur utile (HA 16, cadres 8 mm) : d ≈ 40.9 cm
• Moment réduit : μu ≈ 0.198 → sous 0.372, la section convient (pivot B)
• Bras de levier : z ≈ 36.4 cm, d'où As = MEd / (z · fyd) ≈ 7.0 cm² d'acier nécessaires
• Ferraillage retenu : 4 HA 16 (8.04 cm² mis en place)

C'est exactement le cheminement que déroule le calculateur ci-dessus, vérifications d'effort tranchant et de flèche comprises, avec la note de calcul PDF correspondante.